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Kräfte und Beschleunigungen im Tennis

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!!! Auf das Bild klicken !!! Erläuterung am Schluss des Beitrages.

Fragt man seine  Kameraden im Club, ob ein schwerer oder ein leichterer Schläger den Ball mehr beschleunigt, bekommt man durchgehend die Antwort „der Schwere“.
Mag sein, aber die reine Physik behauptet das Gegenteil. Der leichtere Schläger überträgt einen höheren Prozentsatz (86 % gegenüber 76 %) seiner Bewegungsenergie auf den (ruhenden) Ball

Von der Schlagarbeit des Spielers, bei beiden Schlägern mal als identisch angenommen,  gehen vom leichteren Schläger demzufolge 14,7% mehr Energie auf den Ball über, als vom  schwereren.

 

Das ist auch unmittelbar plausibel, weil der schwere Schläger sich nach dem Schlag relativ ungebremst fortbewegt. Ähnliches gilt bei einem Verkehrsunfall von leichtem mit einem schwerem Fahrzeug, nur ist da die hohe (Umkehr-) Beschleunigung des leichten Fahrzeugs von dessen Insassen bestimmt nicht gewünscht!

Der Anteil der von einer elastischen bewegten Kugel auf eine ruhende Kugel übertragenen Energie in Abhängigkeit von deren Massenrelation wird in folgendem Diagramm gezeigt.
Das Diagramms bedeutet, dass ein Schläger, der theoretisch genauso schwer wäre, wie der Ball, beim elastischen Stoß (keine Energie geht verloren) die gesamte Bewegungsenergie auf den Ball übertrüge.

 

Bild 1, Elastischer zentraler Stoß; Energieübertragung bei verschiedenen Massenrelationen.
m1: Masse mit Anfangsgeschwindigkeit (Schläger).
m2: ruhende Masse (Ball)

 Bei einer Ballmasse m2 = 57 Gramm und jeweils unterschiedlichen Schlägergewichten (m1) von 250 ….270….340 Gramm sowie einer jeweils hälftigen effektiven Schlägermasse bei Treffen im Sweet-Spot, ergeben sich die Relationen der Massen m1 zu m2 von ..2,2…..2,4…..3,0. (Anmerkung: laut der Berechnungen von Brody et al. ist die effektive Schlägermasse bei Treffen im Sweet-Spot mit der halben Gesamtschlägermasse anzusetzen. Siehe zum teilelastischen Stoß hier..)

Formeln für den elastischen Stoß herangezogen, reine Schulphysik

Aus dem Energieerhaltungssatz und dem Impulserhaltungssatz abgeleitet, sind u2 und u1 die Geschwindigkeiten nach dem Zusammenprall von Ball und Schläger – (bei gewissen idealisierten Annahmen für den elastischen Stoß)

 

Variablen für den elastischen Stoß in Anwendung auf die Konfiguration Schläger/Ball

  • v 1   = Schlägergeschwindigkeit vor dem Stoß
  • v 2   = Ballgeschwindigkeit vor dem Stoß
  • m 1  = Masse des Schlägers
  • m 2  = Masse des Balles
  • u 2   = Geschwindigkeit des geschlagenen Balle
  • u 1  = Geschwindigkeit des Schlägers nach dem Ballkontakt

 Die Formeln für u2 und u2 ermöglichen es nun, viele interessante Konfigurationen durchrechnen, indem man Schlägergewicht, Ballgewicht, Geschwindigkeit des ankommenden Balles und Geschwindigkeit des Schlägers vor dem Stoß variiert. Siehe hierzu meine Simulation Hillmer Ballbeschleunigung Exceltabelle

Achtung: Die Formel wurde so umgesetzt, dass Schlägergeschwindigkeit, Geschwindigkeit des ankommenden Balles und die des abgehenden Balles als positive Werte ein- bzw. ausgeben werden. Lediglich der Rückschlagschock des Schlägers wurde negatv belassen.

Die eigene träge Armmasse ist durch ein Äquivalent berücksichtigt. Die Armmasse reduziert natürlich die von dem Spieler erreichte Schlägergerschwindigkeit und verschiebt das Optimum für das Schlägergewicht in Richtung schwerer Schläger (Auf die Bedeutung der Armmasse für das optimale Schlägergewicht weist auch R. Cross hin, siehe hier… In einer Modellstudie simuliert er Arm und Schläger als gekoppelte Pendel, wobei er Massenverhältnisse von 1:6 von Schläger zu Arm und Arm zu Schläger postuliert. Die Berechnungen erinnern mich an die Simulation von Mehrkörpersystemen, siehe hier…   und hier….  )

Weiter findet man in der Simulation ( Exceltabelle) die Tabelle 2, in der, im Wege einer Filmauswertung, die empirischen Daten für einen Grundschlag (Djokovic) abgelesen und in die linke Hälfte der Excel-Tabelle 1 eingetragen wurden (letzte Zeile, rot markiert). Angesichts der Schwierigkeiten bei der Abtragung der zurückgelegten Distanzen aus den Frames ist die Übereinstimmung der Daten mit den photometrisch geschätzten Werten vermutlich akzeptabel.

Außerdem wurde die Kraft, die aus der opposite arm action gewonnen werden kann, in den Tabellen 3 und 4 für einen Spitzenspieler und einen Freizeitspieler ebenfalls grob abgeschätzt. In Tabelle 5 werden alle wichtigen Schlagphasen (Djokovic) gezeigt.

Die hier gefundenen Ergebnisse sind in die Beiträge opposite arm action, Schlägergewicht tunen und langsamen Ball schnell machen eingeflossen.

Die gleichen Formeln, und sehr schön animiert findet man auch beim Golf: 2 & 3 Ball Collisions , Hier wird übrigens die gleiche Effizienzkurve (Bild 1) gezeigt. Interessant ist übrigens der Drei-Kugel-Stoß, der zeigt, dass bereits eine dazwischen geschaltete Kugel die Energieübertragung verbessert: „Remember, when we ran the animation of the large ball colliding with the small ball, how the small ball moved faster than the large ball? Although it’s not easy to tell, the small ball now moves faster than before. The intermediate ball makes the transfer of energy from the large ball to the small ball more efficient.“ siehe hier… Diese Betrachtung spielt bei unseren Überlegungen zur Vorhandpeitsche eine zentrale Rolle, die wir als Koppelung ein mehrgliedrigen Massekette betrachten, siehe auch unseren Beitrag Die vier Elemente der Vorhandpeitsche.

Inzwischen gibt zur Berechnungs der Schlägerbeschleunigung, also den rechten Teil meiner Exceltabelle, ein sehr elaborierteres Muskelsimulationsmodell für die Vorhand unter Berücksichtigung des Schlägergewichts von Wiemann, siehe unseren Beitrag hier…

Praktische Versuche hat neuerdings Cross durchgeführt, siehe hier.., wobei die Versuchspersonen auf einem Stuhl sitzen, eine Anordnung, die der Simulation Wiemann sehr nahe kommt.

Weitere physiologisch abgesicherte Bestimmung des Zustandekommens einer Schlägerbeschleunigung, die weiter gehen, als die von Wiemann werden wohl in absehbarer Zeit nicht verfügbar sein.. Katapult- und Peitscheneffekte, sowie Pronationsbewegungen können wegen der immensen Komplexität bisher in mathematischen Simulatinen nicht berücksichtigt werden. Siehe hierzu auch Tilo Gold, „Schnelle neuromuskuläre Innervationsmuster bei azyklischen Bewegungen Die Analyse schneller Armzugbewegungen im Judo“, Diss. Tübingen 2004, S. 28 ff.  Hierzu hat R.Cross eine Versuchsreihe unternommen, hier….

Des Weiteren wären die Einflüsse des Spins zu untersuchen. Eine interessante Formel für die Beschleunigungszunahme und die Absprungwinkelverschiebung beim Absprung eines Topspinballes vom Boden habe ich hier gefunden. Man kann daraus auch schließen, dass ein Topspin erzeugt werden kann, auch wenn die Schlägerbahn keine Aufwärtskomponente enthält! Verhältnisse beim Spin-Schlag siehe (Prof. Leitl, Mechanik im Sport ab S. 57)

Alternative Ansätze wie in dem Portal racquetresearch gehen zwar auf verschiedenste Torsionsbewegungen ein. Sie stellen aber nicht den Zusammenhang zwischen Schlägerbeschleunigung, Schlägergewicht und Ballbeschleunigung her. Außerdem können auch dort nicht alle Freiheitsgrade des Zusammenspiels der verschiedenen Schlagarmkomponenten mit dem Schläger berechnet werden, so dass es gute Gründe gibt, erst mal mit geschätzten Äquivalenten zu rechnen.

Die Tabelle für die Massen von Körperteilen in Ars Matialis lagen mir zur Berechnung seinerzeit nicht vor. Bei den Hebelverhältnissen wären Integrale der Teilmassen über die Hebellängen erforderlich, Diese sind mir nicht bekannt. Für die Zwecke des Schlägervergleichs sind meine Schätzungen nur lässlich ungenau.

Untersuchungen zum Ballkontakt siehe hier…. bzw. die Animation im Kopf dieses Beitrages.
Aufgenommen bei einem Aufschlag von 180 Km/h und einer zeitlichen Auflösung von 0,2 Millisekunden.
Weitere Literatur zum Zusammenspiel von Mensch und Tennisschläger siehe hier… (leider kaum Links, nur zur Enzyklopädie der Sportmedizin.

 

© Dr. Holger Hillmer

2 Kommentare

  1. Sehr geehrter Herr Hillmer,
    mir gefällt der von Ihnen verfasste Artikel sehr. Ich schreibe zur Zeit an meiner Diplomarbeit im fachdidaktischen Bereich Mathematik und Physik. Bis jetzt habe ich mich größtenteils mit der korrekten physikalischen Modellierung der Flugbahnen der verschiedenen Grundschläge beschäftigt. Da hier die Anfangsgeschwindigkeit eine große Rolle spielt, möchte ich nun noch auf den Stoß Schläger-Ball genauer eingehen und bin nun bei Ihrem Beitrag zur Berechnung der Impulserhaltung bei der kinematischen Kette hängen geblieben. Ich würde diese gerne in meiner Diplomarbeit ansprechen, allerdings habe ich nach stundenlanger Recherche keine passende Literatur zu diesem Thema gefunden. Daher meine Frage: Wie kamen Sie auf diese Berechnungen? Haben Sie geeignete Literatur verwendet oder sind dies eigenen Behauptungen?

    Über Ihre Hilfe und Rückmeldung würde ich mich sehr freuen!
    Mfg Teresa

    • Hallo, Theresa, danke, für die Anfrage. Ich muss etwas grinsen, weil ich mich mit der Physik nicht mehr so detailliert auseinander setze (-n muss).
      Aber ein paar Quellen habe ich ja genannt. Auch die Berechnungen von Professor Wiemann, der seinerzeit freundlicherweise für mich die Muskelmodelle gerechnet hat, sind sicher hilfreich.

      Wobei die Muskelmodelle leider mit vielen vereinfachenden Annahmen auskommen mussten.

      Angesichts der heute selbst im Hobbytennis dominierenden Peitschentechnik aus der Unterarmpronatiin ist das problematisch, wenngleich die Vorzüge des leichten Schläger nun noch gravierender ausfallen.

      Mit bestem Gruß und der Einladung, Ihre Ergebnisse hier zu präsentieren
      Holger Hillmer

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